동전을 무한 번 던진다고 하자. 앞면이 무한히 자주 나올 확률은 얼마인가? 고전적인 확률론으로는 이 질문에 답할 수 없다. 라플라스적 확률, 즉 “전체 경우의 수 가운데 유리한 경우의 수가 차지하는 비율”이라는 정의는 애초에 경우의 수가 유한할 때만 의미를 가진다. 기하학적 확률(길이나 넓이의 비율)로 확장하더라도 여전히 앞의 질문에 답할 수 없다. 동전을 …
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르베그 측도를 구성할 때 가장 처음 시작한 건 구간의 길이를 정의하는 일이었다. 그런데 그 구성을 다시 들여다보면, 구간의 길이를 정의하는 일이 정말로 필요했던 곳은 외측도를 처음 정의하기 시작할 때뿐이었다. 카라테오도리의 조건, 가측집합이 \(\sigma\)-대수를 이룬다는 정리, 가산가법성은 모두 ‘구간의 길이’라는 구체적인 내용과 무관하게, 순전히 그 값이 갖는 성질(단조성, 가산준가법성)만으로 성립하였다. 그렇다면 …
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지금까지는 함수를 하나씩 놓고 적분 가능한지, 극한과 적분을 바꿀 수 있는지를 실펴보았다. 이 글에서는 초점을 바꾼다. 적분 가능한 함수를 전부 모으면 그 모임 자체가 하나의 공간이 되는데, 이 공간의 구조를 살펴보는 것이 이 글의 목표다. 집합 \(E\) 위에서 르베그 적분 가능한 함수 전체의 모임 \(L^1(E)\)는 적분의 선형성 덕분에 벡터공간을 이룬다. …
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측도론을 다룬 글(르베그 측도)에서 크기를 재는 도구, 즉 측도를 살펴보았다. 가측집합의 모임이 \(\sigma\)-대수를 이루고, 그 위에서 측도가 가산가법적이며, 음이 아닌 가측함수가 단순함수의 증가열의 극한으로 나타난다는 것까지 확인하였다. 이제 적분을 정의할 차례다. 적분을 구성하는 일 자체는 어렵지 않다. 단순함수의 적분은 함숫값과 함수가 그 값을 갖는 정의역의 점의 집합의 측도를 곱하여 더하면 …
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리만 적분 가능성을 결정하는 조건을 다시 돌아보자. 디리클레 함수는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 불연속이다. 반면 닫힌 구간에서 단조인 함수는 불연속점의 개수가 가산이며, 적분 가능하다. 심지어 불연속인 점의 개수가 비가산이지만 리만 적분 가능한 함수도 존재한다. 즉 불연속점의 개수가 얼마나 많은지는 리만 적분 가능성을 결정하지 않는다. 대신 구간에서 불연속점이 차지하고 있는 ‘크기’가 얼마인지가 …
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구간 \([a,b]\)에 가느다란 막대가 놓여 있고, 각 점에서 막대의 밀도가 연속함수 \(\rho(x)\)로 주어졌다고 하자. 이때 막대 전체의 질량은 다음과 같은 리만 적분으로 계산된다. \[\int_a^b\rho(x)\,dx\] 이번에는 막대 위의 한 점 \(c\)에 질량 \(m_0\)이 통째로 얹혀 있다고 생각해 보자. 이런 점질량(point mass)은 리만 적분을 사용하여 나타낼 수 없다. 리만 적분을 정의할 때 …
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함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있고 연속이며, \([a,\,b]\)에 속한 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)이라고 하자. 그래프 \(y=f(x)\)와 \(x\) 축 사이 부분의 넓이를 구하고 싶다고 하자. 고등학교에서 배우는 방법은 다음과 같다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\)등분하여 폭이 \(\frac{b-a}{n}\)인 직사각형을 \(n\)개 세우되, 각 직사각형의 높이는 그 직사각형이 놓인 구간 안의 한 점 \(x_k\)에서 …
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공과 도넛을 나란히 놓으면 누구나 한눈에 둘을 구별한다. 도넛에는 가운데 구멍이 뚫려 있고 공에는 없다. 그런데 이 ‘구멍이 있다’라는 사실을, 눈으로 전체를 내려다보지 않고 오직 표면 위를 기어 다니는 것만으로 알아낼 방법이 있을까? 표면에 사는 개미 한 마리가 있다고 하자. 이 개미는 자기가 공 위에 있는지 도넛 위에 있는지 구별할 …
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명제논리와 일계논리를 공부하다 보면 자연스럽게 사용하는 성질이 있다. 바로 어떤 진술이든 참 또는 거짓, 둘 중 하나의 값만 매겨질 수 있다는 것이다. “2는 소수이다”는 참이고 “모든 자연수는 짝수이다”는 거짓이다. 진릿값이 하나 정해지고 나면 그것으로 끝이다. 그런데 수학 바깥으로 잠깐 나가 보자. “비가 내린다”라는 문장은 참인가? 지금은 그럴 수 있다. 한 …