우리는 고등학교와 대학 초년에 미적분을 배운다. 미분은 어느 순간의 변화율을 재고, 적분은 그 변화를 쌓아 넓이나 총량을 구한다. 이 모든 것의 바탕에는 극한이 있다. 미적분이라는 거대한 건물 전체가 ‘연속적이고 매끄러운 세계’ 위에 서 있는 셈이다. 그런데 우리가 실제로 다루는 것 중에는 뚝뚝 끊긴 것이 많다. 그래서 한번 이렇게 물어보자. 극한을 …

직각삼각형의 세 변 사이에는 피타고라스 정리가 성립한다. 즉 \(\angle C\)가 직각인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(a^2+b^2=c^2\)이 성립한다. 특히 직각삼각형 중에는 \(3^2+4^2=5^2\)이나 \(5^2+12^2=13^2\)처럼 세 변이 모두 자연수인 직각삼각형도 있다. 이러한 등식을 만족시키는 자연수 세 쌍 \((a,b,c)\)를 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라 부른다. 피타고라스 세 쌍이 무수히 많다는 사실이 알려져 있다. 이제 자연스럽게 새로운 …

먼 미래의 이야기다. 사람들이 더는 제 무게를 짊어지지 않아도 될 정도로 먼 미래. 사람들은 흰 고리라고 불리는 도시에서 살았다. 고리는 어느 푸른 행성의 궤도를 천천히 돌았다. 그 안에서 중력은 옷 같은 것이었다. 입고 싶으면 입고, 벗고 싶으면 벗었다. 잠은 무게 없는 구역에서 잤다. 떠서 자는 잠은 어디도 배기지 않아서, 사람들은 …

📖 Abstract Algebra: From Symmetry to Galois Theory (PDF) This book develops abstract algebra from its most concrete beginnings to two of the subject’s most beautiful structural results. It is organized around a single, unifying conviction: the seemingly separate worlds of symmetry, arithmetic, linear structure, and polynomial equations are not …

풀밭의 두 사람도, 강가의 모녀도, 산의 노할미와 손녀도, 떠도는 사람도, 다 어디선가 계속 살고 있어. 우리가 안 보고 있을 뿐이지. 이야기 하나 더 해줄게. 짧은 이야기야. 옛날 사람 이야기는 아니고, 옛날 이야기 끝에 옛날 사람들이 서로한테 했던 말들 중에 손녀가 가장 좋아했다는 말 하나. 노할미가 손녀한테 마지막 겨울에 했던 말이래. …

세 자리가 한 자리라는 건 사실 옛날 사람들도 다 알지는 못했어. 풀밭 사람은 풀밭만 봤고, 강가 사람은 강가만 봤고, 산 사람은 산만 봤어. 자기 자리만 보면서 평생 살아도 사는 데 지장이 없으니까, 굳이 다른 자리를 안 봤어. 그런데 가끔, 아주 가끔, 세 자리가 한 자리라는 걸 알아본 사람이 있었어. 그런 …

산은 한 자리에 있었어. 풀밭처럼 넓지도 않고, 강처럼 흐르지도 않고, 그냥 한 자리에 있었어. 산이 한 자리에 있는 게 당연한 것 같지만, 사실 산도 움직여. 아주 천천히. 사람의 시간으로는 안 보이고, 산의 시간으로 보면 산도 움직여. 산은 한쪽으로 조금씩 기울어. 비가 오면 흙이 한쪽으로 쓸려 가고, 바람이 불면 잎이 한쪽으로 …

강은 이름이 없었어. 아니, 이름이 너무 많았다고 해야 맞을 거야. 강은 길었거든. 시작과 끝 사이에 마을이 여럿 있었고, 마을마다 자기네 앞을 흐르는 강을 자기네 식대로 불렀어. 윗마을에서는 푸른 강이라고 했고, 가운데 마을에서는 빠른 강이라고 했고, 아랫마을에서는 깊은 강이라고 했어. 같은 강인데 이름이 다 달랐어. 강은 어느 이름에도 대답하지 않았어. 강은 …

하늘이 지금보다 낮았던 시절이 있었어. 손이 닿을 정도는 아니지만, 새가 너무 높이 날면 부딪힐 만큼은 낮았대. 그때는 바람마다 다 다른 이름이 있었어. 봄에 풀을 한 번 휘젓고 가는 바람, 한여름 정오에 그늘 속까지 들어오는 바람, 누군가 죽기 직전에 마지막으로 머리카락을 헝클어 주는 바람까지. 그 이름을 다 외우고 있는 사람은 풀밭 …

This book presents a guided first pass through the core of linear and nonlinear functional analysis. It is organized around a single, concrete guiding question: How much of linear algebra survives in infinite dimensions, what fails, and which new geometric and compactness principles replace the missing finite-dimensional miracles? The exposition …