Abstract. Let \(d\in\mathbb{N}\) and let \(\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in(0,1)^d\). We prove that the algebraic direct sum \[ \mathcal{G}_{\boldsymbol{\alpha}}^{\mathrm{alg}} := \bigoplus_{\mathbf{k}\in\mathbb{N}_0^d}\mathbb{C}e_{\mathbf{k}}, \quad e_{\mathbf{k}}(x) := \prod_{j=1}^d \frac{x_j^{k_j\alpha_j}}{\Gamma(k_j\alpha_j+1)}, \] is the canonical multi-graded monomial space on which the partial Riemann–Liouville integrals \( J_j:={}_0 I_{x_j}^{\alpha_j} \text{ for } 1\le j\le d \) and the partial Caputo derivatives …

Abstract. Let \(0 < \alpha < 1\), and define \(e_n(x):=x^{n\alpha}/\Gamma(n\alpha+1)\) for \(n\ge 0\). We prove that the algebraic direct sum \(\mathcal{G}_{\alpha}^{\mathrm{alg}}:=\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}e_n\) is the distinguished \(\alpha\)-graded monomial space on which the order-\(\alpha\) Riemann–Liouville integral \(J_\alpha:={}_0 I_x^\alpha\) and the order-\(\alpha\) Caputo derivative \(C_\alpha:={}_0^{\mathrm{C}}D_x^\alpha\) act as a unilateral shift pair, namely \(J_\alpha e_n=e_{n+1}\) ...

Abstract. We prove that the ordinary differentiation operator on the finite-dimensional polynomial space \( P_n := \{p(x)\in \mathbb{C}[x] : \deg p \le n\} \) cannot serve as an internal model for classical fractional calculus. Here, by an internal model we mean a family of linear endomorphisms acting on the same …

이전 글에서 살펴본 민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 방정식 \(A(u) = f\)의 해를 구할 때 사용하는 도구이다. 그러나 열 전도나 파동의 전파처럼 시간이 흐름에 따라 상태가 변하는 현상을 기술하기 위해서는 시간 미분항이 포함된 발전방정식(evolution equation)을 풀어야 한다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같은 1계 코시 문제(abstract Cauchy problem)이다. \[\begin{cases} \frac{du}{dt}(t) …

이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자. 이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다. …

선형 함수해석학에서 힐베르트 공간 \(H\) 위의 선형연산자 \(T\)가 양연산자(positive operator)라는 것은 모든 \(x \in H\)에 대하여 \(\langle Tx,\, x \rangle \geq 0\)임을 의미한다. 이를 일변수함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)에 비유하면, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수라는 것과 유사하다. 비선형 해석학에서는 이를 일반화하여, 함수의 도함수가 양수인 성질, 즉 함수가 증가하는(또는 단조인) …

지난 글에서 살펴본 변분법의 직접법은, 반사적 바나흐 공간 위에서 정의된 범함수가 볼록하고 하반연속이며 강압적일 때 전역 최솟값의 존재를 보장한다. 그러나 많은 비선형 문제, 특히 불안정한 평형 상태를 기술하는 문제에서는 최솟값이 아닌 임계점, 즉 안장점(saddle point)을 찾아야 할 필요가 있다. 안장점을 찾는 이론을 임계점 이론(critical point theory)이라고 부르며, 그 중 가장 …

이전 글에서 살펴본 변분법의 기본 정리(직접법)는 공간이 반사적이거나 함수가 강압적일 때 최솟값이 존재한다는 것을 보장한다. 하지만 최솟값이 존재하지 않거나, 공간이 완비거리공간이지만 반사적이지 않은 경우에는 직접법을 사용할 수 없다. 이러한 상황에서 사용할 수 있는 도구가 에켈랜드 변분 원리이다. 이 원리는 비록 최솟값은 아닐지라도, 최솟값에 충분히 가까운 점이 최솟값과 유사한 성질을 가진다는 …

지난 글에서 “컴팩트 집합 위에서 정의된 하반연속 함수는 최솟값을 가진다”라는 일반화된 바이어슈트라스 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 유계이고 닫힌집합이 노름 위상에서 컴팩트가 아닐 수 있다. 따라서 기존의 방식으로는 최솟값의 존재를 보장할 수 없다. 이 난관을 돌파하는 열쇠는 바로 약위상(weak topology)이다. 힐베르트 공간이나 반사적 바나흐 공간에서 유계인 닫힌집합은 약컴팩트(weakly compact) …

미분방정식을 푼다는 것은 종종 어떤 에너지 범함수 \(J(u)\)를 최소화하는 함수 \(u\)를 찾는 문제(변분 문제)로 환원된다. 미적분학에서 미분가능한 함수의 극소점을 찾을 때 \(f'(x)=0\)을 살피듯이, 변분법에서도 먼저 범함수의 임계점 조건 \(J'(u)=0\)을 본다. 구체적인 적분형 범함수의 경우 이 조건은 오일러-라그랑주 방정식으로 나타난다. \(f\)가 미분 가능한 실함수일 때 \(f'(x)=0\)이라고 해서 반드시 \(f\)가 \(x\)에서 반드시 …

샤우더의 부동점 정리는 강력하지만, 편미분방정식 등 실제 응용 문제를 해결할 때 한 가지 큰 난관에 부딪힌다. 바로 연산자 \(T\)에 의하여 자기 자신에 대응되는 닫힌 볼록집합 \(K\)를 찾아내는 과정이다. (즉, \(T(K) \subset K\)인 닫힌 볼록집합 \(K\).) 이 집합 \(K\)를 구성하는 것이 매우 까다로울 수 있다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 등장한 것이 …

이전 글에서 유한차원 공간에서의 브라우어 부동점 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 닫힌 단위 공이 컴팩트 집합이 아니므로, 단순히 “유계이고 닫힌 볼록 집합”이라는 조건만으로는 부동점의 존재를 보장할 수 없다. 이 문제를 해결하기 위해 율리우스 샤우더(Julius Schauder)는 브라우어의 아이디어를 무한차원으로 확장했다. 핵심은 정의역 자체가 컴팩트 볼록집합인 경우이거나, 혹은 정의역은 닫힌 볼록집합이더라도 …